Cálculo de la temperatura del termómetro húmedo en función de la temperatura del termómetro seco y de la humedad relativa

Seguidamente transcribo mi colaboración en el Calendario meteorológico del año 1999, que puede consultarse en este enlace de la web de AEMET

En muchos Observatorios en los que no se tiene horario de 24 horas, suele ser frecuente tener que obtener los datos de determinadas observaciones de las bandas o registradores; aunque este hecho no plantea dificultades en líneas generales, el cálculo de la temperatura del termómetro húmedo es un tanto complicado.

Por otro lado, las estaciones automáticas y los sistemas integrados de bases y aeropuertos, disponen de sensores de temperatura y humedad, entre otros. En estos casos, también puede ser útil en ocasiones el cálculo de la temperatura del termómetro húmedo, por ejemplo, como paso previo para calcular el resto de las variables de una observación.

Cuando se intenta obtener una fórmula para el cálculo de la temperatura del termómetro húmedo, t’, en función de la temperatura del termómetro seco, t, y de la humedad relativa, Hr, nos encontramos con fórmulas tremendamente complicadas. Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación partiendo de la fórmula empírica de Magnus para la tensión de vapor saturante:

fórmula 1

                Siendo:

                               E: tensión de vapor saturante en Hpa., a la temperatura t.

                               K: 7.5 (tensión de vapor sobre agua

                               K: 9.35 (tensión de vapor sobre hielo)

                               Z: 237.3 (tensión de vapor sobre agua)

                               Z: 261.0 (tensión de vapor sobre hielo)

                               G: 6.1078

Estos coeficientes están ligeramente modificados, para conseguir un mejor ajuste a las tablas aspiro-psicrométricas del I.N.M.

Desarrollo de la fórmula

Partimos de la fórmula de la humedad relativa:

fórmula 2

                Siendo :

                             Hr: humedad relativa en tanto por ciento

                             E₁: tensión de vapor

                             E₂: tensión saturante, sobre agua, a la temperatura del termómetro seco. (Ver nota)

La tensión de vapor E₁, de la fórmula 2, se obtiene mediante la siguiente expresión:

fórmula 3

                Siendo:

                               E’: tensión saturante en Hpa., a la temperatura del termómetro húmedo t’

                               t: temperatura del termómetro seco

                               t’: temperatura del termómetro húmedo

                               P: presión en Hpa, al nivel de la estación, reducida a 0°C

                               B: 0.000799 (Psicrómetro sobre agua)

                               B: 0.000680 (Psicrómetro sobre hielo)

                               B: 0.000667 (Aspiro-psicrómetro sobre agua)

                               B: 0.000573 (Aspiro-psicrómetro sobre hielo)

Aplicando la fórmula empírica de Magnus, (Fórmula 1), para la tensión saturante a E₂ en la fórmula 2 y a E’ en la fórmula 3, se obtienen las siguientes expresiones:

fórmula 4 

fórmula 5

Sustituyendo las expresiones de E1 y E2 en Hr (fórmula 2), se obtiene lo siguiente:

fórmula 6

Haciendo algunos cambios en la fórmula anterior se llega a:

fórmula 7

Para poder despejar t’, hay que desarrollar en serie la exponencial del numerador. Recuérdese que el desarrollo en serie de una función f(x), en torno a un punto x0, obedece a la siguiente expresión:

fórmula 8

En este desarrollo, nos quedaremos con el término correspondiente a la primera derivada, ya que si tomamos más términos la expresión resultante es muy complicada. Para obtener una buena aproximación, el desarrollo en serie ha de hacerse en torno a una temperatura aproximada a la del termómetro húmedo, que representaremos por te.

Efectuando el desarrollo, se obtiene:

fórmula 9

Sustituyendo en la fórmula 7, se llega a la siguiente expresión:

fórmula 10

Despejando t’, se llega finalmente a la expresión buscada:

figura 11

Uso  de la fórmula

La fórmula obtenida, a primera vista es compleja, pero si se utiliza para programación se simplifica, ya que hay términos que se repiten.

A la hora de introducir datos, tenemos cuatro variables:

P, te, t y Hr.

Para te, podemos seguir dos procedimientos:

A.) Introducir una temperatura te, aproximada a la temperatura t’ buscada, haciendo la aproximación a ojo, con lo cual, cuanto mejor haya sido la aproximación, más precisa será la t’ obtenida. Por ejemplo, para una temperatura de 24.0°C y una humedad del 40%, la temperatura del termómetro húmedo es de 15.9°C; si tomamos para te un valor de 12.0°C, la fórmula nos da un valor para t’ de 16,1°C, mientras que si tomamos para te 14.0°C, obtenemos el valor exacto de t’, es decir, 15.9°C. En este ejemplo no se ha indicado ninguna presión determinada, ya que su influencia en el cálculo es pequeña para valores dentro de los rangos normales de la misma.

B.) Utilizar un proceso iterativo. En un primer paso, hacer te = t, es decir hacer la temperatura estimada igual a la temperatura del termómetro seco, y aplicar la fórmula, con lo que obtendremos una temperatura t’1; en un segundo paso hacer te = t’1 y aplicar nuevamente la fórmula, obteniendo una nueva temperatura t’2; en un tercer paso hacer te = t’2 y aplicar de nuevo la fórmula, con lo cual la temperatura obtenida ya es la temperatura del termómetro húmedo buscada, t’

En la publicación original se incluye a continuación un fragmento de código en Basic, actualizado aquí a visual basic.

Public Function CalcularTh(Seco As Integer, Humedad As Integer, Presion As Integer) As Integer

    'Seco es la Temperatura del Termómetro seco en décimas de grado (ejemplo 235 para 23.5ºC)

    'Humedad es la humedad relativa en %

    'Presión es la presión al nivel de la estación en décimas de hPa (ejemplo 10105 para 1010.5 hPa)

    

    Dim A As Single, B As Single, C As Single, ESat As Single

    Dim TemperaturaEstimada As Single, P0 As Single, k As Integer

    Dim P As Double, F As Double, N As Double, D As Double

    A = 7.5

    B = 237.3

    C = 0.000799

    

    TemperaturaEstimada = Seco / 10

    T = TemperaturaEstimada

    P0 = Presion / 10

    

    For k = 1 To 3

        P = 10 ^ (A * TemperaturaEstimada / (B + TemperaturaEstimada))

        F = (A * B * Log(10)) / (B + TemperaturaEstimada) ^ 2

        N = Humedad * 10 ^ (A * T / (B + T) - 2) 

        N = N + C * P0 * T / 6.1078 - P * (1 - F * TemperaturaEstimada)

        D = F * P + C * P0 / 6.1078

        TemperaturaEstimada = N / D

    Next k

    

    CalcularTh = 10 * TemperaturaEstimada 'en décimas de grado

End Function

La anterior es la función principal, a la que se puede invocar con un código como el que se incluye a continuación, en que CCalcular es un CommandButton y TSeco, THumedad y TPresion son TextBox que contienen respectivamente la temperatura del termómetro seco en décimas de grado, la humedad relativa en % y la presión al nivel de la estación en décimas de hPa.

Private Sub CCalcular_Click()

    Dim Terms as Integer, HumedadR as Integer

    Dim P0Ref as Integer, TermH as Integer

    Terms = Me.TSeco.Text

    HumedadR = Me.THumedad.Text

    P0Ref = Me.TPresion.Text

    TermH = CalcularTh(Terms, HumedadR, P0Ref)

End Sub

Este pequeño programa es tan sólo una muestra que puede modificarse y mejorarse según convenga. También puede servir como base para calcular unas tablas propias de cada Observatorio, tomando como valor de la presión, la presión media del Observatorio.

Nota: El reglamento técnico de la OMM (Apéndice D-17) establece que la humedad relativa para temperaturas inferiores a 0°C debe calcularse con respecto al agua líquida, debido a que la mayor parte de los higrómetros indican la humedad relativa con respecto al agua a todas las temperaturas y que la atmósfera se halla frecuentemente sobresaturada con respecto al hielo a temperaturas inferiores a 0°C. Por este motivo en el código anterior los cálculos se han hecho respecto al agua

Nota final: Al utilizar este procedimiento debe tenerse en cuenta en todo momento la fiabilidad del higrógrafo utilizado; asimismo conviene recalcar que las medidas de humedad deben obtenerse mediante el psicrómetro, dejando el método aquí descrito para cuando esto último no sea posible, aplicando al dato del higrógrafo las correcciones oportunas antes de aplicar la fórmula obtenida.